www.lars-kamel.se

Lite matematik och grundläggande fysik angående klimatet

Här nedan presenterar jag beräkningar utifrån enkla antaganden och grundläggande fysik. Är du allergisk mot formler och/eller uppradande av siffror, är det förmodligen ingenting för dig. Huvudslutsatsen från dessa beräkningar är att klimatmodellerna sannolikt överskattar hur känslig världens medeltemperatur är för ändringar i växthuseffekten.

Svarta och gråa kroppar

Den enklaste föremål som kan ta upp och avge strålning är den svarta kroppen. En sådan absorberar all strålningsenergi den tar emot (därav namnet svart kropp) och avger strålning, vars storlek och frekvensfördelning bara beror på kroppens temperatur och dess totala yta. Svarta kroppar ska inte förväxlas med svarta hål. Svarta hål tar förvisso upp all strålning som når dem, men fungerar ändå annorlunda än svarta kroppar. Kropp ska heller inte tolkas som att det rör sig om något levande. För fysiker är i detta fall en kropp vilket föremål som helst som kan ta upp och sända ut strålningsenergi.. Egentligen ser den också bara svart ut om den har låg temperatur, så att det mesta av strålningen har för långa våglängder för att våra ögon ska kunna uppfatta den.

Den svarta kroppen är egentligen en teoretisk konstruktion som inte finns i verkligheten. Anledningen är att alla verkliga objekts ytor är täckta av material som påverkar strålning av olika väglängd olika. Lika fullt är den svarta kroppen en användbar konstruktion. Dels finns det objekt i universum som nästan är svarta kroppar. Faktiskt är vårt universum en nästan perfekt svart kropp, med en temperatur på knappt tre grader över absoluta nollpunkten, när vi tittar så långt bort det går. Dels kan formlerna för den svarta kroppen förändras en aning och användas med stor nogrannhet på många verkliga objekt. En sådan modifiering är den gråa kroppen. Den gråa kroppen fungerar som den svarta med två undantag: Den tar inte upp all energi som når den, utan reflekterar en del. Ett mått på reflektionsförmågan är albedot. Den sänder inte ut strålning med hundraprocentig effektivitet, jämfört med en svart kropp av samma temperatur och storlek.

Rent matematiskt gäller att den gråa kroppen sänder ut strålning enligt Stefan-Boltzmanns modifierade lag:

(1) W=εσT⁴

Här är W utsänd effekt per ytenhet, i W/m² (watt per kvadratmeter), ε är emissiviteten, alltså hur effektivt strålning sänds ut, σ är Stefan-Boltzmanns konstant, 5,67x10^-8 W/(m²K⁴), och T är yttemperaturen.

Jordens strålningsbalans

Jorden är inte riktigt en grå kropp, men låt oss i alla fall använda den approximationen för att få en uppfattning om dess strålningsbalans. Då behöver vi modifiera formeln (1) ovan till detta:

(2) S(1-A)/4=εσT⁴

Här betyder S solarkonstanten, det vill säga hur mycket solstrålning som når den övre atmosfären (egentligen inte en konstant men den kallas solarkonstanten av historiska skäl) och A är albedot. Vi måste dela med fyra i vänsterledet, därför att jorden är klotformad, medan den från solen ser ut som en skiva vänd mot solen. En glob har fyra gånger större yta än en cirkulär skiva, så strålningen sprids ut över en fyra gånger så stor yta som det verkar från solen. Här har jag också gjort antagandet att jordytan strålar ut lika mycket energi som den absorberar. Vänsterledet i (2) är ju egentligen inkommande strålning och högerledet utgående.

Då är det dags att sätta in litesiffror i formeln. S är ungefär 1366 W/m2, och jordens medelyttemperatur anses vara ungefär 14,3 C. Dock förutsätts T i formeln vara given i grader Kelvin, så vi måste lägga till 273,2 C, för att få T≈287,5 K. Jordens albedo är cirka 38%, alltså blir 1-A≈0,62. Detta ger ε≈0,55.

Fast nu har vi ju glömt något. Solstrålning är inte den enda strålning som når jordytan. Det kommer ju också värmestrålning från atmosfären, till följd av växthuseffekten. Så egentligen borde formel (2) i stället skrivas:

(3) S(1-A)/4+G=εσT⁴

Då är G den värme som når jordytan till följd av atmosfärens värmande effekt. Hur ska vi då få fram den? Tja, om vi antar att ε i själva verket är 1, så får vi ju i alla fall det största värdet på G som är möjligt, nämligen G≈175 W/m². Detta kan jämföras med att S(1-A)/4≈212 W/m². Atmosfärens växthuseffekt förstärker alltså effekten av solstrålningen med högst 83%.

Ett intressant problem är ju hur mycket T ökar om inkommande strålning i vänsterledet ökar, och då framför allt om G ökar. För att ta reda på detta, kan man derivera bägge leden i formel (3) och se vilken ändring i temperatur, ΔT, som en liten ändring i växthuseffekten, ΔG, leder till. Resultatet av den uträkningen blir:

(4) ΔG=4εσT³ΔT

Fortsätter vi att anta att ε=1, förvandlas detta uttryck till ΔG≈5,39ΔT, eller ekvivalent ΔT≈0,186ΔG. Enligt många källor innebär en fördubbling av koldioxidhalten att jordytan nås av ytterligare cirka 4 W/m². Sätter vi in detta värde som ΔG, får vi ΔT≈0,74 K. Om koldioxidhalten i atmosfären fördubblas, kan vi alltså förvänta oss att världen blir ungefär trekvarts grad varmare.

Den beräknade uppvärmningen ovan är förståss en minimumvärde, för om ε skulle vara mindre än 1, blir den beräknade uppvärmningen högre. Men vi har ju faktiskt redan räknat ut att ε måste vara åtminstone 0,55, det värde som gäller om växthuseffekten är noll. Därmed kan vi räkna ut också den högsta uppvärmning vi kan förvänta oss från en fördubbling av koldioxidhalten. Resultatet blir ΔT≈0,34ΔG≈1,3 K. Jag vill också påpeka, att när det gäller temperaturskillnader, så är grader Kelvin och grader Celsius identitiska. Det är för temperaturer det skiljer 273,2 grader mellan dem.

Slutsatsen från denna räkneövning är således denna: En fördubbling av koldioxidhalten leder till en uppvärmning av jordytan, ΔT, på 0,74-1,3 C. Det högre värdet gäller dessutom för det fall då växthuseffekten i princip är noll innan den extra koldioxiden tillförs, vilket inte är sant.

Du har säkert sett helt andra värden på hur mycket uppvärmning vi kan förvänta oss i framtiden. I den serie rapporter som IPCC presenterade år 2001, till exempel, förutspåddes en uppvärmning fram till år 2100 på 1,4-5,8 C. Det minsta värdet i den prognosen är knappt, och bara om man tar hänsyn till möjliga avrundningsfel, lika med det högsta värdet i beräkningen ovan. Hur kan IPCC förutsäga så mycket uppvärmning? Ja, en del av förklaringen är att vissa av IPCC:s prognoser förutsäger mer än en fördubbling av koldioxidhalten fram till år 2100. Huvuddelen av förklaringen är dock de antaganden som görs i övrigt.

Vilka antaganden gjorde vi för att komma fram till att 0,74≤ΔT≤1,3 C? Vi antog bland annat att jordytan är en grå kropp. Detta antagande är inte riktigt. Som en första approximation duger det dock bra, och mer avancerade beräkningar visar att en fördubbling av koldioxidhalten verkligen leder till en uppvärmning på cirka 1 grad. Om det inte finns förstärkande återkopplingsmekanismer, det vill säga. Det är där den stora skillnaden finns mellan den enkla beräkningen ovan och de avancerade klimatmodeller vars resultat IPCC använder. I dessa klimatmodeller finns förstärkande återkopplingsmekainsmer som förstärker den ökning av växthuseffekten som koldioxidökningen ger upphov till. Det kan då också vara intressant att notera att det totalt saknas bevis för att dessa förstärkande återkopplingsmekanismer existerar i verkligheten. Om verkligheten i stället skulle ha dämpande återkopplingsmekanismer, kommer temperaturökningen från en fördubbling av koldioxidhalten i själva verket att bli mindre än 0,74 C.

Avancerade beräkningar är knappast mer korrekta en enkla beräkningar, om dessa avancerade beräkningar innehåller felaktiga antaganden.

Jag vill också passa på att nämna det för klimatfrågan viktiga begreppet klimatkänslighet. Beräkningen ovan är just en beräkning av kliamtkänsligheten. Klimatkänsligheten brukar endera anges som den temperaturökning som kan förväntas för en extra watt per kvadratmeter i genomsnitt över jordytan. Eller också anges den som den temperaturökning som kan förväntas vid en fördubbling av koldioxidhalten. I beräkningen ovan kom vi alltså fram till att klimatkänsligheten enligt den första definitionen är 0,19-0,34 K/(W/m²), och ienligt den andra att den är 0,74-1,3 K. Klimatmodellerna, däremot, använder värden i intervallet 1,5-4,5 K för en fördubbling av koldioxidhalten.

Vi kan försöka räkna ut klimatkänsligheten på andra, enkla sätt. Världen påstås ha blivit upp till 0,8 C varmare sedan 1800-talets mitt. Samtidigt har koldioxidhalten ökat med 30%. Andra växthusgaser har också ökat, och den totala effekten är samma som om koldioxidhalten hade ökat med 50%, men övriga växthusgasers halter varit konstanta. Detta är ju hälften av en fördubbling, så om vi antar att hela temperaturökningen är en följd av en ökande växthuseffekt, blir klimatkänsligheten 1,6 C för en fördubbling av koldioxidhalten. Detta är alltså ett maximivärde som fås ur den beräknade uppvärmningen sedan 1800-talets mitt. Med tanke på att solstrålningen och solens magnetfält under samma tid också har ökat, är det dock mycket osannolikt att hela uppvärmningen skulle bero på en ökande växthuseffekt. Uppvärmningen sedan 1800-talets mitt tycks faktiskt stödja det möjliga intervall på klimatkänsligheten vi fick i beräkningen ovan.

Jordens bana runt solen är inte cirkulär, utan avlång. Detta leder till att övre atmosfären tar emot drygt 91 W/m² mer energi när avståndet är som minst, jämfört med när det är som störst. Multipicera detta med (1-A)/4, och vi får att skillnaden för jordytan blir i genomsnitt cirka 14 W/m². Avståndet är som minst i början av januari och som störst i början av juli.. Jordens hastighet runt solen är däremot som störst i början av januari och minst i början av juli. På grund av denna effekt borde somrarna på norra halvklotet vara svalare än dem på södra halvklotet, och faktiskt också några dagar längre, medan vintrarna på norra halvklotet borde vara mildare, och kortare, än på södra halvklotet. Det finns dock en rejäl skillnad mellan halvkloten också i förhållandet mellan land och hav, vilket komplicerar bilden. Vatten reagerar ju långsammare på förändringar i tillförd energi än land gör. Dessutom ligger en stor kontinent runt sydpolen, medan nordpolen omges av hav. På land, långt ifrån havet som dämpar alla temperaturvariationer, på ekvatorn borde dock effekten av jordbanas avlånghet märkas. Därtill kommer att jordaxel pekar åt olika håll, jämfört med riktningen mot solen, vid olika tider på året, alltså samma effekt som ger oss årstider. På ekvatorn borde vi kunna se årstider som beror på kombinationen av skillnaden i inkommande solstrålning mellan januari och juli och jordaxelns riktning. Förutsatt att albedot vid ekvatorn är detsamma som i genomsnitt över jordytan och att molnigheten är densamma över hela året, borde instrålningen till jordytan vid ekvatorn variera så här:

Årstidväxlingarna ser helt annrolunda ut än långt ifrån ekvatorn, till exempel hos oss. De två maximumen inträffar vid vår- och höstdagjämningen, då solen står i zenit vid middagstid. De två minumumen inträffar vid sommar- och vintersolståndet, då solen aldrig kommer närmare zenit än cirka 23 grader. Till detta kommer variationerna i avståndet mellan solen och jorden, som framför allt gör midsommarminimumet betydligt lägre än midvinterminimumet. Det här är i och för sig inte en ändring av växthuseffekten, men jordytans temperatur måste reagera på samma sätt på alla förändringar i inkommande strålning. Med antagandet att varje punkt på jordytan är en grå kropp går det också att räkna ut vilka temperaturer som dessa värden på instrålning svarar mot. Med ε≈0,55 och ingen växthuseffekt svarar det mot att temperaturen varierar mellan 22,8 och 32,5 C, alltså en variation på nästan 9 grader. Skiliinaden mellan e två minimumen borde vara ungefär hälften av detta. Skillnaden mellan det första och det andra maximumet under året borde vara drygt en grad. Med en ännu högre klimatkänslighet borde vi se till och med ännu större temperaturvariationer på ekvatorn.

Det finns tre väderstationer som uppfyller villkoren att ligga i stort sett på ekvatorn och långt från havet: Kisangani och Mbandaka i Kongo samt Sao Gabriel i Brasilien. Den genomsnittliga, årliga variaionen i medeltemperatur ser ut så här på dessa ställen:

Som synes är skillnaden mellan högsta och lägsta temperatur på de tre ställena ungefär 1,5 C, vilket är mycket mindre än förväntat. Också nivån på temperaturerna, 24-26 C, ligger lägre än beräknat utifrån gråkroppsapproximationen, förutom då att minimtemperaturen ligger nästan som väntat.. Temperaturskillnaden mellan de två maximumen verkar nästan som förväntat för de två afrikanska stationerna, medan inte ens tecknet på skillnaden är som förväntat för den brasilianska stationen. Temperaturvariationerna verkar en aning fördröjda jämfört med variationerna i inkommande solsrålning, men det är bara naturligt. Trots allt borde temperaturen reagera med lite fördröjning på variationer i en eller flera klimatfaktorer. Dessutom varierar nederbörden, och därmed förmodligen också molnigheten, lite under året. Den är som minst i just januari och juli och som störst när vi här i norr har vår eller höst. Detta borde bidra till att minska den maximala temperaturskillnaden jämfört med det förväntade värdet.

Exemplet med årstider på ekvatorn tyder sannerligen inte på att klimatkänsligheten är högre än det intervall vi fick fram ovan. Snarare att den är ännu lägre.

Här har jag bara återgett några av de indicier som finns att klimatkänsligheten är lägre än vad som stoppas in i klimatmodellerna. Den som försöker försvara de höga klimatkänsligheter som används i klimatmodellerna har problem. Vad gäller den total uppvärmningen sedan 1800-talets mitt, brukar man försöka med förklaringen att människans utsläpp av partiklar har kylt jordytan och därmed dolt en del av uppvärmningen från en ökande växthuseffekt. Även antagandet att dessa partiklar märkbart har kylt jordytan är obevisat. För att försvara det obevisade påståendet om förstärkande återkopplingsmekanismer används alltså ett annat obevisat påstående. Någon förklaring till den relativt måttliga temperaturvariationen vid ekvatorn har jag aldrig sett. Detta faktum kanske ignoreras?

Beräkningarna ovan bygger på antaganden som inte helt riktiga, men kanske hyfsade approximationer. En fördel med dessa beräkningar är att de enbart bygger på grundläggande fysik och därmed är ganska lätta att förstå. Klimatmodeller, å andra sida, är en sorts svarta lådor där antaganden och data stoppas in och ut kommer siffror som lika gärna skulle kunna vara resultatet av magi som egentliga beräkningar. Vad som pågår därinne i lådan är oklart.

Jordens riktiga energibalans

Som avslutning är det dags att visa hur komplicerat det egentligen är. Beräkningarna ovan utgår ju från att jordytans energibalans sköts enbart via strålning. Det är fel. Strålningen är inte ens dominerande, för det är en alldeles för långsam metod för att hinna med att kyla jordytan när och där solens instrålning är stor. Den viktigaste metoden för att kyla jordytan är i stället konvektion. Konvektion innebär väsentligen att varm luft flyttar på sig, endera i höjd- eller sidled, och ger plats för svalare luft från någon annan plats. Värmen transporteras på detta sätt genom atmosfären. Samma sak gäller för övrigt för världshaven. Värme transporteras där huvudsakligen genom att varmt vatten flyttar på sig och ger plats för kallare vatten, som sedan kan värmas upp av solstrålningen och i sin tur flytta på sig, etcetera. Luften rör dock inte på sig tillräckligt snabbt för att kunna övervinna gravitationen och komma ut i rymden. Så småningom måste den kyla av sig genom att stråla ut värmen till rymden. Strålning är ju den enda energitransport som är tillgänglig i vacuum. Avkylning genom strålning sker i huvudsak alltså högt upp i atmosfären. Nere vid ytan är den för ineffektiv jämfört med konvektionen. Så även om strålning bidrar väldigt lite till jordytans energibalans, är den dominerande när det gäller kombinationen jordytan plus atmosfären.

Det finns ytterligare sätt för ytan att kylas. Vatten kan avdunsta. Det går åt energi för att förvandla vattnet från vätska till gasform och dessutom går det åt energi för att lyfta vattenångan uppåt i atmosfären. En del av den energin får man tillbaka när regndroppar (eller snöflingor eller hagelkorn) faller till marken, men inte allt. Iskristallernas och vattenmolekylernas rörelser genom luften ger friktion som värmer luftmolekylerna. Avdustning sker inte bara i hav, sjöar och vattendrag. Mark och levande organismer innehåller också vatten som kan avdunsta.

Värmen som når ytan behöver heller inte nödvändigtvis transporteras uppåt. Den kan i stället transporteras nedåt. Solljus kan tränga ned ett par hundra meter i klart vatten, och absorberas direkt där nere i stället för vid ytan. Värme vid ytan kan ledas nedåt, både i vatten och i mark. Värme kan också gå åt andra hållet, nedifrån och upp. Jordens inre är ju faktiskt mycket varmt och den värmen leds utåt. Denna geovärme är dock för liten för att värma upp mer än några särskilt aktiva områden. I genomsnitt över hela jordytan är den mindre än 0,1 W/m², vilket kan jämföras med de cirka 390 W/m² som behövs för att behålla den nuvarnde genomsnittliga yttemperaturen. Den solenergi som lagras i världshaven är däremot mycket viktig för jordens väder och klimat.

Nära polerna och på höga bergstoppar spelar vattnet ytterligare en roll. Fasövergången mellan is/snö och flytande vatten kräver också energi, medan övergången från flytande vatten till is avger energi. Detta spelar också roll för jordytans energibalans. I själva verket borde formeln (3) i stället skrivas på följande sätt:

(4) S(1-A)/4+G-E-K-L+F+N=εσT⁴

Här betyder E den effekt som går åt för att avdunsta vatten, K den effekt som förs bort av konvektionen, L värmen som leds bort, F bidragen från vattnets övergångar mellan fast och flytande form, och N den effekt som tillförs ytan via nederbörden. Jag har dock aldrig sett någon annan skriva denna formel med så många termer. I genomsnitt borde bidraget från summan -E-K-L+F+N över hela jordytan vara ungefär noll, men för den sakens skull ska de bidragen väl inte ignoreras?

Formel (4) säger något mer viktigt. En ökning av växthuseffekten, G, (eller en ökning av solstrålningen, S) behöver inte alls leda till någon höjning av temperaturen, T. Den kan i stället leda till förändringar av en eller flera av termerna E, K, L, F och N. Eller för att säga det med ord: Extra energi som når jordytan behöver inte leda till att det blir varmare där. I stället kan energin transporteras nedåt, till havsdjup eller jordens inre, leda till mer konvektion, eller till förändringar i vattencykeln.

Tillbaka till startsidan för min vetenskapsavdelning.